მათემატიკის ძირითადი წესები და ფორმულები

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები

(a+b)(a-b)=a²-b²  ორი გამოსახულების ჯამის ნამრავლი მათსავე სხვაობაზე ტოლია მათივე კვადრატების სხვაობის
(a-b)²=a²-2ab+b²  ორი გამოსახულების სხვაობის კვადრატი ტოლია პირველი გამოსახულების კვადრატს გამოლებული გაორკეცებული ნამრავლი პირველი გამოსახულებისა მეორეზე და დამატებული მეორე გამოსახულების კვადრატი
(a+b)²=a²+2ab+b² ორი გამოსახულების ჯამის კვადრატი ტოლია პირველი გამოსახულების კვადრატს დამატებული გაორკეცებული ნამრავლი პირველი გამოსახულებისა მეორეზე და დამატებული მეორე გამოსახულების კვადრატი

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³  ორი გამოსახულების ჯამის კუბი ტოლია პირველი გამოსახულების კუბს დამატებული გასამკეცებული ნამრავლი პირველი გამოსახულების კვადრატისა მეორეზე დამატებული გასამკეცებული ნამრავლი მეორე გამოსახულების კვადრატისა პირველზე  დამატებული მეორე  გამოსახულების კუბი.

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ ორი გამოსახულების სხვაობის კუბი ტოლია პირველი გამოსახულების კუბს გამოკლებული გასამკეცებული ნამრავლი პირველი გამოსახულების კვადრატისა მეორეზე დამატებული გასამკეცებული ნამრავლი მეორე გამოსახულების კვადრატისა პირველზე,  გამოკლებული მეორე  გამოსახულების კუბი.

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) ორი გამოსახულების კუბების სხვაობა  ტოლია ამ გამოსახულებების სხვაობის ნამრავლისა მათივე ჯამის არასრულ კვადრატზე.

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) ორი გამოსახულების კუბების ჯამი  ტოლია ამ გამოსახულებების ჯამის ნამრავლისა მათივე სხვაობის არასრულ კვადრატზე.

  

 5-ით დაბოლოებული რიცხვების კვადრატები რომ ვიპოვოთ, 5-ის წინ მდებარე რიცხვი გავამრავლოთ  თვლაში  მის მომდევნოზე და მივუწეროთ  25.

მაგ.:   15² =225      25² =625         35² =1225         45² =2025      55² =3025       65² =4225

  რიცხვები

10 =10¹       100=10²      1000=10³        1 000 000 =10⁶  მილიონი  

1 000 000 000 =10⁹  მილიარდი 

1 000 000  000 000 =10¹²  ტრილიონი         

1 000 000  000 000 000 =10¹⁵    კვადრილიონი

1 000 000  000 000 000 000 =10¹⁸  კვინტილიონი   

1 000 000 000 000 000 000 000 =10²¹  სექსტილიონი

1 000 000 000  000 000 000 000 000=10²⁴  სეპტილიონი

1 000 000 000  000 000 000 000 000 000=10²⁷  ოკტალიონი

1 000 000 000  000 000 000 000 000 000 000=10³⁰    ნონალიონი

1 000 000 000  000 000 000 000 000 000 000 000=10³³    დეკალონი

1 000 000 000  000 000 000 000 000 000 000 000 000=10³⁶    ენდეკალონი

1 000 000 000  000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 =10³⁹    დოდეკალონი

ნატურალური რიცხვები თვლის შედეგად მიღებული რიცხვებია. აღინიშნება  N ასოთი.     N={1; 2; 3; ....}    

ნატურალური რიცხვებისა და  O-ის გაერთიანებას არაუარყოფით მთელ რიცხვთა სიმრავლე ეწოდება და აღინიშნება   Z₀  ასოთი.

ნატურალურ  რიცხვებს, მის მოპირდაპირე რიცხვებს და ნულს მთელი რიცხვები ეწოდება და აღინიშნება   Z ასოთი.

  m/n სახის რიცხვებს, სადაც    m Z,  ხოლო  n N,  რაციონალური რიცხვები ეწოდება, რომელთ სიმრავლეც აღინიშნება Qასოთი. 

Nარის  Z₀-ის ქვესიმრავლე, Z₀ არის  Z-ის ქვესიმრავლე,  Z არის Q-ს ქვესიმრავლე, ხოლო  Q არის ნამდვილ რიცხვთა Rსიმრავლის ქვესიმრავლე.

დავიმახსოვროთ:    k--ელემენტიანი სიმრავლის ყველა ქვესიმრავლის ოდენობაა:     2^k 

    მაგ. 7-ელემენტიანი სიმრავლის ყველა ქვესიმრავლის ოდენობაა:     2⁷  

 ნებისმიერი წილადი გადაიქცევა უსასრულო პერიოდულ ათწილადად,  სასრული ათწილადიც შეიძლება წარმოვიდგინოთ როგორც  უსასრულო  პერიოდულ ათწილადი, პერიოდით ნული.

   თუ შეკვეცის შემდეგ წილადის მნიშვნელის მარტივ მამრავლებად დანაშალი შეიცავს ,,2“-ებისა და ,,5“-ების გარდა სხვა რომელიმე რიცხვს, ასეთი  წილადი სასრულ ათწილადად არ გადაიქცევა, თუ არადა გადაიქცევა სასრულ ათწილადად.

ნებისმიერი პერიოდული ათწილადი ჩაიწერება წილადის სახით:

    წმინდა პერიოდული ათწილადი რომ ჩვეულებრივ წილაადად გადავაქციოთ, მთელი თუ აქვს, პირდაპირ გადავიტანოთ, შემდეგ მრიცხველში დავწეროთ ათწილადის პერიოდი, მნიშვნელში კი იმდენი ცხრიანი, რამდენი ციფრიცაა პერიოდში.      მაგ:   

შერეული პერიოდული ათწილადი რომ ჩვეულებრივ წილაადად გადავაქციოთ:

ა) მთელი თუ აქვს, პირდაპირ გადავიტანოთ,

ბ) რიცხვს მძიმიდან პირველ პერიოდის ბოლომდე გამოვაკლოთ რიცხვი მძიმიდან პირველ პერიოდამდე და მიღებული შედეგი დავწეროთ მრიცხველში

გ) მნიშვნელში  დავწეროთ იმდენი ცხრიანი, რამდენი ციფრიცაა პერიოდში და მარჯვნივ მივუწეროთ იმდენი „0“ რამდენი ციფრიცაა მძიმესა და პერიოდს შორის.

ყოველი რაციონალური რიცხვი ჩაიწერება უსასრულო პერიოდული ათწილადის სახით:

რიცხვის ჩაწერა სტანდარტული სახით:

რიცხვის სტანდარტული სახით ჩაწერისას რიცხვი წარმოვადგინოთ ისეთი ორი რიცხვის ნამრავლის სახით, რომელთაგან ერთი არის 1≤a<10 ხოლო მეორე 10-ის ხარისხი a×10ⁿ სადაც nЄΖ  მაგ: 34700=3.47.10⁴                             0.0032=3.2.10^-3

         A რიცხვის მთელი ნაწილი ეწოდება უდიდეს მთელ რიცხვს, რომელიც არ აღემატებაამ რიცხვს. აღინიშნება [A] სიმბილოთი. მაგ: [5.23]=5      [0.3]=0         [-2.9]=-3

ხოლო წილადი ნაწილი ეწოდება ამ რიცხვისა და მისი მთელი ნაწილის სხვაობას. აღინიშნება {a} სიმბოლოთი. მაგ:{2.4}=2.4-2=0.4         {-2,6}=-2,6-(-3)=-2,6+3=0.4

ერთეულები: 1კმ=1000მ=10³მ    1კგ=1000გ =10³გ    1ტ=1000კგ=10³კგ    1ც=100კგ=10² კგ

1მ=100სმ=10² სმ           1მ=10დმ               1სმ =10მმ              1დმ=10სმ   

  1დმ=100 მმ=10²  მმ                 1მ=1000მმ=10³ მმ

1მ² =10000სმ²=10⁴ სმ²          1მ²=100დმ²=10²დმ²            1სმ² =100მმ²    

  1დმ²=100სმ ²                   1დმ²=10000მმ ^{2 =}10⁴ მმ²              1მ²=1000000მმ²=10⁶ მმ²

1მ³ =1000000სმ²=10⁶ სმ³            1მ³=1000დმ³=10³დმ³                  1სმ³ =1000მმ³    

1დმ³=1000სმ³=10³ სმ ³            1დმ³=1000000მმ ³⁼10⁶ მმ³        1მ²=1000000000მმ³=10⁹ მმ³

და  პირიქით:  1სმ=0,01მ=10^-2 მ       1მ=0,001კმ=10^-3მ    1დმ=0,1მ=10^-1 მ   1მმ=0,1სმ=10^-1 სმ           1მმ=0,01დმ=10^-2 დმ

1სმ²=0,0001მ²=10^-4 მ ²      1მ²=0,000001კმ²=10^-6მ²    1დმ²=0,01მ²=10^-2 მ²   1მმ²=0,01სმ²=10^-2 სმ²           1მმ²=0,0001დმ²=10^-4 დმ²

1სმ³=0,000001მ³=10^-6 მ³       1მ³=0,000000001კმ³=10^-9მ³    1დმ³=0,001მ³=10^-3 მ³   1მმ³=0,001სმ³=10^-3 სმ³           1მმ³=0,000001დმ³=10^-6 დმ³

ჩანაწერის ფორმა დამოკიდებულია ჩვენ მიერ არჩეულ სისტემაზე, როგორიცაა: „ორობითი“, „რვაობითი“, „ათობითი“ და სხვა. ძირითადად გამოიყენება ათობით სისტემა, რომელიც შეიცავს ათ ელემენტს: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

  ამ ათ ელემენტს ციფრები ეწოდება. განვიხილოთ რიცხვი 1283, იგი შედგება სამი ერთეულისაგან, რვა ათეულისაგან, ორი ასეულისაგან და ერთი ათასეულისაგან.

რიცხვის ჩაწერა გაშლილი ფორმით

 მაგ:       230 487=200 000+30 000+400+ 80+7=2^.10⁵ +3^.10⁴ +4 ^. 10² +8^.10+7

3490,235=3000+400+90+ + + =  3^. 10³ +4 ^. 10² +9 ^. 10 + 2^.10^-1 +3^. 10^-2 +5^.10^-3

ათობით სისტემის გარდა გამოყენებაშია ასევე ორობითი სისტემა, ორობითი სისტემა გამოიყენება გამომთვლელ მანქანებში. იგი შეიცავს მხოლოდ ორ ელემენტს. მაგალითად ორი ორობითსისტემაში არის ათი 2₁₀=10₂       (ინდექსი აღნიშნავს სისტემის ფუძეს).

                განვიხილოთ მაგალითი: გადავიყვანოთ  რიცხვი 10 ორობით სისტემაში. იმისათვის რომ რიცხვი გადავიყვანოთ ორობით სისტემაში უნდა განვიხილოთ მისი ნაშთები ორზე გაყოფისას, მისი ნახევრის, შედეგის მთელი ნაწილის ნახევრის და ა.შ. მანამდე სანამ არ მივიღებთ შედეგს  0-ს

10:2=5(ნაშთი 0)

5:2=2(ნაშთი 1)

2:2=1(ნაშთი 0)
1:2=0(ნაშთი 1)

    იგივენაირად უნდა გავაკეთოთ სხვა სისტემებში გადაყვანისათვის.

   იმისათვის რიცხვი ჩავწეროთ ორობით სისტემაში ნაშთები უნდა დავწეროთ ბოლოდან. ე.ი. რიცხვი ათი ორობით სისტემაში იქნება 1010₂

     პირიქით, რიცხვი რომ ორობითი სისტემიდან ათობითში გადვიყვანოთ მისი პირველი ციფრი გავამრავლოთ 2-ის n-1 ხარისხზე, სადაც  n ტოლია იმ რიცხვის, რისი ტოლიცაა ამ რიცხვში ციფრთა რაოდენობა. მეორე ციფრი  გავამრავლოთ 2-ის n-2 ხარისხზე, მესამე ციფრი  გავამრავლოთ 2-ის n-3 ხარისხზე... ბოლოს წინა ციფრს მოუწევს 2-ის 1 ხარისხზე გამრავლება, ხოლო ბოლო ციფრს 2-ის 0 ხარისხზე, ანუ 1-ზე გამრავლება.

მაგალითი   ჩაწერეთ  ორობითი რიცხვი ათობით სისტემაში :     (11101010)₂=1^.2⁷ +1^.2⁶ +1^.2⁵ +0^.2⁴ +1^.2³ +0^.2² +1^.2¹ +0^.2⁰=128+64+32+8+2=234₁₀

გაყოფადობის ნიშნები

გაყოფადობის ნიშნები არსობებს იმისათვის რომ ადვილად მივხვდეთ იყოფა თუ არა ერთი რიცხვი მეორეზე. განვიხილოთ რამოდენიმე გაყოფადობის ნიშანი:

2-რიცხვი იყოფა ორზე თუ იგი ბოლოვდება  ლუწი  ციფრით;

3-რიცხვი იყოფა სამზე თუ მისი ციფრთა ჯამი იყოფა 3-ზე.

4-რიცხვი იყოფა ოთხზე თუ მისი ბოლო ორი ციფრისაგან შედგენილი რიცხვი იყოფა ოთხზე.

5- რიცხვი იყოფა 5-ზე თუ იგი ბოლოვდება 0-ზე ან 5-ზე.

6-რიცხვი იყოფა 6-ზე თუ ეს რიცხვი იყოფა 3-ზე და 2-ზე.

8-რიცხვი იყოფა რვაზე თუ მისი ბოლო სამი ციოფრისგან შედგენილი რიცხვი იყოფა რვაზე.

9- რიცხვი იყოფა ცხრაზე თუ მისი ციფრთა ჯამი იყოფა ცხრაზე.

10-რიცხვი იყოფა ათზე თუ ბლოვდება 0-ზე.

11- რიცხვი იყოფა 11-ზე თუ ლუწ ადგილებზე მდგომი და კენტ ადგილებზე მდგომი ცირების ჯამი ერთმანეთის ტოლია.

      მოდალური არითმეტიკაში განიხილება ნაშთები. მაგ  (mod3) ნიშნავს რომ გაყოფა ხდება 3-ზე .

ტოლობა 9 = 2 (mod7) ნიშნავს, რომ 9 და 2   ორივენი 7-ზე გაყოფისას ერთიდაიმავე ნაშთს გვაძლევენ, ანუ 9 და 2 ერთიდაიმავე კლასს ეკუთვნიან 7-ის მოდალურ არითმეტიკაში.

 მოცემულია:    1) 19 = 4(mod3)     2) 9 = 5(mod3)      3) 21 = 3(mod7)      4) 25 = 0(mod5) რომელი ტოლობაა ჭეშმარიტი?      აქ ჭეშმარიტია მეოთხე ტოლობა მხოლოდ, რადგან 0 და 25 ორივენი  5-ზე გაყოფისას გვაძლევენ ერთნაირ ნაშთს, კერძოდ ნულს    

. მთელ რიცხვთა სიმრავლე უსასრულოა . განვალაგოთ რიცხვები რიცხვთა ღერძზე.     რიცხვები იზრდება მარცხნიდან მარჯვნივ, ე.ი. -4<-3<-2<-1<0, აქედან გამომდინარე თუ უარყოფით რიცხვს გამოვაკლებთ ისევ უარყოფით რიცხვს მივიღებთ უფრო დიდ რიცხვს. გა­ნვიხილოთ რამოდენიმე მაგალითი:

1.       -3-(-2)=-1-ამ შემთხვევაში არ იცვლება ნიშანი.

2.      -3^.(-3)=9- როდესაც უარყოფით რიცხვს ისევ უარყოფით რიცხვზე გავამრავლებთ ვღებულობთ დადებით რიცხვს.

3.      -3/(-3)=1 იგივენაირად როგორც გამრავლების შემთხვევაში.

4.      -3+(-3)=-6  ამ შემთხვევაში ნიშანი არ იცვლება იგივეა რაც -3-3 ე.ი. გამოდის -6 რა­­­დ­გან ამ შემთხვევაში სრულდება გამოკლების ოპერაცია.

  მარტივი რიცხვები

     ნატურალური რიცხვი არის მარტივი, თუ მას ზუსტად მხოლოდ 2 გამყოფი აქვს, 1 და თავისი თავი. თუ ორზე მეტი გამყოფი აქვს, მაშინ ის შედგენილი რიცხვია.

       1 არც მარტივი  რიცხვია და არც შედგენილი.

ორ რიცხვს ურთიერთმარტივი ეწოდება, თუ მათ არა აქვთ საერთო გამყოფი, გარდა ერთისა.

მარტივი რიცხვებია  2, 3, 5; 7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47;53;59;61;67;71;73;79;83;89;97;

101;103;107;109;113;                    ასამდე არის 25 მარტივი რიცხვი.

   ორი რიცხვის  უდიდესი საერთო გამყოფი ანუ უსგ რომ ვიპოვოთ, მათ მარტივ მამრავლებად დანაშალიდან ამოვიწეროთ საერთო მამრავლები და ისინი გადავამრავლოთ.

    ხოლო ორი რიცხვის  უმცირესი საერთო ჯერადი ანუ უსჯ რომ ვიპოვოთ, მათ მარტივ მამრავლებად დანაშალიდან  ერთ-ერთიდან ამოვიწეროთ ყველა  თანამამავლი, მეორედან რაც არ შედის და გადავამრავლოთ. 

       ანუ მეორენაირად მათ მარტივ მამრავლებად დანაშალის რიცხვთა ხარისხების  ნამრავლიდან  ორი რიცხვის  უდიდესი საერთო გამყოფი ანუ უსგ რომ საპოვნელად ამოვიწეროთ თითოეული რიცხვი უმცირეს ხარისხში,   ხოლო  უსჯ რომ ვიპოვოთ,  ამოვიწეროთ თითოეული რიცხვი უდიდეს ხარისხში.

მაგალითი 1:      იპოვე  3^{5 .}2^{7  .}5-ისა და   2^{3 .}5^{2 .}3⁹ -ის   უსგ  და   უსჯ

უსგ (3^{5 .} 2^{7  .}5;    2^{3  .}5^2. 3⁹ )=3^{5 .}2^{3 .} 5                  უსჯ(3^{5 .} 2^{7 .}5;    2^{3 .}5^2. 3⁹ )=3^9. 2^7.5²

a . b =უსგ(a;b)  .  უსჯ (a;b)

             რომ ვიპოვოთ რამდენი გამყოფი აქვს  ამა თუ იმ ნატურალურ რიცხვს, ის ჯერ დავშალოთ მარტივ მამრავლებად,    მარტივი რიცხვების ხარისხების ნამრავლის სახით. გამყოფების რაოდენობა ტოლი იქნება თითოეული ხარისხის მაჩვენებლის ერთით გაზრდილი მნიშვნელობების ნამრავლის.

მაგალითი 2:   სულ  რამდენი გამყოფი აქვს  3^{5 .}2⁷   რიცხვს?   პასუხი:  6^.8=48

მაგალითი 3:  ორი ველოსიპედისტი მოძრაობს მოედნის ირგვლივ. ერთი მთელ წრეს შემოვლას 18 წუთს ანდომებს, ხოლო მეორე - 15 წუთს. რამდენ ხანში აღმოჩნდებიან ისინი პირველად ერთდროულად საწყის წერტილში, თუ მოძრაობა ერთად დაიწყეს?

    ამოხსნა : ვიპოვოთ უსჯ 18-ისა და 15-ის.

 უსჯ(18;15)=2^. 3 ^. 3 ^.5=90  (წთ)                     პასუხი :  90 წთ-ის შემდეგ

       მაგალითი 4:   სკოლამ საახალწლო საჩუქრებისთვის  შეიძინა 144ცალი  შოკოლადი, 180 ცალი მანდარინი და 108 ცალი ბანანი. მაქსიმუმ რამდენი მოსწავლისთვის შეუძლია სკოლას გააკეთოს ერთნაირი სასაჩუქრე  კოლოფი? და რამდენი ცალი უნდა შედიოდეს თითოეულ კოლოფში?

            ამოხსნა : ვიპოვოთ უსგ  144-ის,  180-ისა და 108-ის.

 მონაცემთა   საშუალო, მოდა,  მედიანა  და  დიაპაზონი.

         მონაცემთა   საშუალო არის ამ მონაცემთა ჯამის შეფარდება  რაოდენობასთან.

             მოდა ეწოდება იმ მონაცემს, რომელიც ყველაზე ხშირად გვხვდება მასში.  მოდა შეიძლება იყოს ერთი ან რამოდენიმე.

             მედიანა არის ზრდის მიხედვით დლაგებულ მონაცემთა შორის შუა ელემენტი, როცა ელემენტთა რაოდენობა კენტია. ხოლო თუ  ელემენტთა რაოდენობა ლუწია, მაშინ  მედიანა არის ზრდის მიხედვით დლაგებულ მონაცემთა შორის შუა 2 ელემენტის  საშუალო არითმეტიკული.

              დიაპაზონი კი არის მონაცემთა შორის უდიდესისა და უმცირესის სხვაობა.

მაგალითი 1:  მოცემულია მონაცემები :           17; 8; 15; 6; 5; 20; 6        იპოვეთ ამ მონაცემების

       საშუალო, მოდა,  მედიანა  და  დიაპაზონი. 

ჯერ დავალაგოთ ისინი ზრდის მიხედვით:     5;  6;  6; 8;  15;  17;  20

ს   პას.: მოდა არის 6. მედიანა არის 8.  დიაპაზონი არის   20-5=15

მაგ 2:  რომელიღაც 5 რიცხვის ჯამია 47, სხვა 3 რიცხვის ჯამი კი 105. იპოვე ამ რიცხვების საშუალო

  ამოხსნა:  ამ 5 რიცხვის ჯამი იქნება 5^.47 =235  იმ 3 რიცხვის ჯამი იქნება 3^.105=315

რვავე  რიცხვის ჯამი იქნება 235+315=550.   მათი საშუალო კი გამოვა 550:8=68,75

მაგ 2:  ფირმაში სულ 12 ქალი და 8 მამაკაცი მუშაობს. თანამშრომელთა საერთო საშუალო ასაკია 25 წელი. მათგან ქალთა საშუალო ასაკია 21 წელი. იპოვე ამ ფირმის მამაკაცთა საშუალო ასაკი.

ამოხ: სულ 12+8=20თანამშრომელი. ყველას ასაკთა ჯამი =20^.25=500.  ქალების ასაკთა ჯამი =12^.21=252

 მამაკაცთა ასაკების ჯამი იქნება 500-252=248. ხოლო მათი საშუალო ასაკი იქნება248:8=31 წელი